Рассмотрим теперь распространение излучения в среде, показатель преломления которой изменяется случайным образом. При падении световой волны на такую случайную среду амплитуда и фаза волны претерпевают флуктуации, обусловленные флуктуациями показателя преломления среды.

В случайной среде относительная диэлектрическая проницаемость и показатель преломления n меняются от точки к точке и эти изменения нельзя предсказать; более того, даже если бы они и были известны, практически невозможно описать их значения во всех точках пространства. Поэтому среду необходимо описывать статистически и искать статистические закономерности поведения волны в такой среде. В соответствии с этим диэлектрическую проницаемость следует задавать как случайную функцию радиус-вектора r:

(2.4.1)

Для неоднородного распределения показателя преломления приведенное волновое уравнение имеет вид

. (2.4.2)

Это уравнение непосредственно получается из уравнения (1.2.9) в предположении монохроматичности излучения. Показатель преломления n можно представить в виде суммы среднего значения <n> и флуктуаций n₁. Как уже указывалось в комментарии к уравнению (1.2.9) (см. соотношения (1.2.21)-(1.2.23)), последним членом в (2.4.2) можно пренебречь, если длина волны много меньше расстояния, на котором заметным образом меняется показатель преломления. Для волн оптического диапазона это допущение чаще всего выполняется, что позволяет придать волновому уравнению более простую форму:

(2.4.3)

Используя среднее волновое число , где k₀ - волновое число для вакуума, можно записать k₁

(2.4.4)

Поставим задачу найти приближенное решение уравнения (2.4.4) для малых значений n₁. Это можно сделать двумя cпособами. Один из них основан на разложении в ряд самого поля:

(2.4.5)

Нулевой член ряда описывает падающую или невозмущенную волну, слагаемые первого порядка - однократно рассеянное поле, второго порядка - двукратно рассеянное и т.д. Модель однократного и многократного рассеяния иллюстрирует рис. 2.4.1. Другой способ использует разложение в ряд показателя экспоненты:

(2.4.6)

Разложение (2.4.5) представляет собой так называемое борновское приближение, а разложение (2.4.6) называется разложением Рытова. Рассмотрим первые приближения этих разложений.

Начнем с борновского приближения. Запишем уравнение (2.4.4) в виде

(2.4.7)

где

Это уравнение можно свести к следующему интегральному уравнению для y :

(2.4.8)

где - поле в отсутствие флуктуаций , а

(2.4.9)

функция точечного источника.

Из уравнения (2.4.8) видно, что поле рассеянной волны, наблюдаемое в точке r, обусловлено сферической волной , исходящей из точки r'. Амплитуда сферической волны пропорциональна произведению амплитуды поля распространяющегося в среде излучения на флуктуирующую часть показателя преломления n₁(r'), а фаза определяется общим числом длин волн, укладывающихся на пути от источника до рассеивателя и далее до приемника.

Если подставить в интеграл y ₀, то получится первая итерация y ₁ борновского приближения. Продолжая последовательность итераций, можно получить выражение для y в виде ряда.

Рассмотрим теперь приближение Рытова. Поле y (r) можно записать в виде

(2.4.10)

и искать решение для в виде ряда. Этот подход, известный под названием метода Рытова, широко используется в задачах распространения волн в пределах прямой видимости. Имеется ряд теоретических и экспериментальных подтверждений того, что в задачах распространения в пределах прямой видимости первое приближение Рытова является более точным, чем борновское приближение.

Используя уравнение (2.4.7) и представление (2.4.10), а также полагая, что

(2.4.11)

можно получить следующее интегральное уравнение для :

(2.4.12)

Уравнения типа (2.4.12) обычно решаются методом итераций с представлением решения в виде ряда. Упростим уравнение (2.4.12), полагая, что

, (2.4.12a)

или

. (2.4.12b)

Это предположение означает, что изменения на расстояниях порядка длины волны должны быть малыми по сравнению с d n и происходить достаточно плавно. Тем самым и метод, основанный на использовании допущения (2.4.12a,b), получил название метода плавных возмущений (МПВ). Таким образом, пренебрегая под знаком интеграла (2.4.12) произведением , находим первую итерацию

(2.4.13)

которая представляет собой первое приближение Рытова и широко используется в теории слабых флуктуаций.

Итак, приближение Рытова представимо в виде:

(2.4.14)

Представление в виде итерационного ряда может быть найдено из следующего уравнения, получающегося из (2.4.12) и (2.4.13):

(2.4.15)

Подставляя под знаком интеграла, приходим к следующей итерации. Продолжая эту процедуру, можно найти выражение для в виде ряда.

Рассмотрим первое приближение Рытова для слабо неоднородной среды. В этом случае удобно использовать приближенное равенство

(2.4.16)

и записать

(2.4.17)

(2.4.18)

где

(2.4.19)

Соотношение (2.4.18) устанавливает связь поля с флуктуациями показателя преломления .

Найдем теперь выражения для амплитуды A и фазы S поля y (r). Полагая

, (2.4.20)

получаем . (2.4.21)

Вещественная часть , обозначенная через