Когда наблюдатель рассматривает или фотографирует в когерентном свете диффузно отражающий или пропускающий объект, то структура регистрируемого излучения кажется ему зернистой. Создается впечатление, что она покрыта множеством мелких, хаотически расположенных светлых и темных пятнышек - так называемых спеклов. Поля с подобной структурой называют спекловыми или спекл-полями.

Физическая природа спеклов очень проста. Они являются результатом интерференции многих световых волн от различных точек объекта. Если предположить, что спекл-поле формируется в результате равномерного о.свещения диффузора (например, матового стекла) шириной L, то размер спеклов можно оценить из следующих соображений.

Для простоты рассмотрим зависимость интенсивности только от координаты y. Спекл-структура, наблюдаемая в плоскости на расстоянии z от диффузора, представляет собой суперпозицию интерференционных картин, возникающих при рассеянии света каждой парой точек на диффузоре. Две любые точки, разделенные расстоянием l, дают интерференционные полосы с частотой . Наиболее тонкие полосы, т.е. полосы с наибольшей пространственной частотой будут образованы крайними точками диффузора. Для меньших расстояний l существует большое количество пар точек, дающих полосы с частотой, определяемой расстоянием между ними. Число пар таких точек, разделенных расстоянием l, пропорционально L-l. Различные интерференционные полосы будут иметь случайные по отношению друг к другу фазы, поэтому при формировании усредненной по ансамблю освещенности вклад от интерференционных картин с разной частотой полос пропорционален соответствующему числу пар рассеивающих точек. Поскольку число последних пропорционально разности L-l, которая в свою очередь пропорциональна f_max -f, распределение освещенности по частоте полос будет линейным. Средняя частота полос равна

, (2.5.1)

и, следовательно, распределение освещенности в "типичном спекле" запишется следующим образом:

. (2.5.2)

За ширину спекла принимают расстояние между точками, где I падает до половины своего максимального значения, т.е. . Итак, можно считать, что размер типичного спекла (или, что одно и то же, средний размер спекла) равен

. (2.5.3)

В оптике когерентного излучения очень часто спеклы рассматриваются как оптический шум, который приводит к ухудшению качества изображения и снижению четкости интерференционной картины. Однако с помощью специальных методов это явление может быть успешно использовано для создания основ измерительной техники нового типа.

Спекл-фотография - это метод измерения плоских перемещений, деформаций, поворотов и вибраций, обладающий умеренной чувствительностью. Чтобы дать основные представления о спекл-фотографии рассмотрим схему измерения плоского перемещения, которая показана на рис. 2.5.2,а.

Линза с фокусным расстоянием f и диаметром D образует изображение поверхности объекта в плоскости фотослоя. Расстояние до объекта l0 и до изображения li связаны уравнением

(2.5.4)

Образованное в плоскости фотослоя изображение промодулировано случайной картиной спеклов, имеющих характерный размер bs, определяемый апертурой линзы:

(2.5.5)

Если объект сместится в вертикальном направлении на величину Ly, относительная фаза для каждого из множества лучей, участвующих в образовании каждого спекла, останется неизменной.

Следовательно, картина спеклов просто сместится в плоскости фотопластинки как целое на величину MLy, где М - поперечное увеличение оптической системы. Аналогично спеклы сместятся на величину MLx, если объект переместится в горизонтальном направлении на Lx. Перемещение картины спеклов для таких перемещений в плоскости не зависит от угла освещения q i.

Чтобы измерить плоское перемещение объекта, пластинку экспонируют дважды - один раз до перемещения и один раз после него. Если предположить, что величина смещения L превышает размер спеклов bs, то на проявленной фотопластинке получается фотография пары идентичных спекл-картин, смещенных на расстояние ML. Расстояние ML для каждой пары спеклов можно непосредственно измерить путем микроскопического исследования пластинки. Альтернативным способом является когерентно-оптическая обработка фотоснимка, в результате которой смещение может быть представлено в виде картины интерференционных полос. Пластинку помещают в сходящийся лазерный пучок, образованный линзой с фокусным расстоянием fT, как показано на рис. 2.5.2,б.

Распределение освещенности в задней фокальной плоскости линзы состоит из яркого центрального пятна, окруженного картиной спеклов, промодулированной полосами с косинусоидальным распределением интенсивности. Яркое центральное пятно образовано недифрагированным светом, прошедшим через фотопластинку; модулированная картина спеклов образуется светом, дифрагирующим на спекл-структуре, зарегистрированной на фотопластинке. Полосы с косинусоидальным распределением образуются в результате того, что каждая пара соответственных спеклов действует как пара идентичных источников когерентного света, которые образуют полосы Юнга (рис. 2.5.3,в).

Ориентация полос нормальна к вектору L перемещения в плоскости. Величину L можно определить с помощью уравнения

(2.5.6)

Согласно которому если спеклы в каждой паре на фотоснимке разделены промежутком d_s, расстояние между полосами составляет df=l fT/ds. Поэтому перемещение объекта в плоскости равно

(2.5.7)

где l - длина волны лазерного излучения, используемого для образования полос; fT - фокусное расстояние линзы, осуществляющей преобразование; М - увеличение оптической системы, использованной при получении спекл-фотографии; df - расстояние между полосами.

В отличие от спекл-фотографии спекл-интерферометрия представляет собой класс измерительных методов с существенно более высокой чувствительностью, в которых происходит когерентное сложение (интерференция) поля, имеющего спекл-структуру, с плоской опорной волной или с другим полем, имеющим спекл-структуру.

Здесь мы ограничимся рассмотрением метода с использованием опорной волны. Предположим, что лазерный свет рассеивается шероховатой поверхностью в направлении экрана или фотопленки. Характерный размер спеклов при этом равен , где z - расстояние от объекта до плоскости наблюдения и D - диаметр объекта. Если для получения изображения используется линза, то , где D/f - относительное отверстие линзы. Если на диффузный свет наложить плоскую когерентную волну, интенсивность которой равна средней интенсивности спекл-картины, то это приведет к очень существенным изменениям в поведении картины спеклов при перемещении объекта в направлении к наблюдателю или от него. На основе статистических исследований продольной структуры спеклов, спеклы можно представить как образования, имеющие вытянутую структуру вправо от линзы, строящей изображение (рис. 2.5.4). Следовательно, если объект движется вдоль оси, то изменения структуры спекл-картины в плоскости изображения будут незначительны. Другими словами, небольшое смещение в осевом направлении не приводит к изменению относительной фазы световых лучей, рассеянных отдельными точками поверхности, По указанной причине методы спекл-фотографии практически не чувствительны к нормальным смещениям. Теперь предположим, что на световое поле, имеющее спекл-структуру, наложена опорная волна, распространяющаяся в направлении z. Тогда наблюдаемая спекл-картина является результатом интерференции поля спеклов с опорной волной. Если объект сместится на расстояние z, то относительная фаза этих двух полей изменится на

(2.5.8)

где q - угол падения излучения на объект.

Поэтому освещенность спекл-картины будет периодически изменяться при движении объекта в осевом направлении. Если

(2.5.9)

то картина спеклов будет идентична картине, соответствующей исходному положению объекта, для которого z=0. Если

(2.5.10)

то контраст будет обращенным, то есть области, которые первоначально были темными, теперь станут светлыми и наоборот. Поэтому, если объект медленно движется в осевом направлении, то кажется, что спеклы мерцают. Основанный на этом эффекте спекл-интерферометр можно использовать для наблюдения модовой структуры колебаний поверхностей. Исследуемая поверхность освещается лазерным светом, и ее изображение строится с использованием апертуры переменного диаметра, для того чтобы можно было изменять размеры спеклов. Свет, рассеянный узловыми областями поверхности, образует в плоскости наблюдения отчетливую неподвижную спекл-картину. Однако освещенность спеклов в других точках изображения периодически флуктуирует при вибрации поверхности, и если изображение наблюдают визуально или фотографируют со временем экспозиции, превышающим период колебаний, то освещенность спеклов усредняется, создавая относительно однородную засветку. Такое изображение называют спекл- интерферограммой. Наблюдатель может обнаружить узловые области, поскольку спеклы в этих местах имеют высокий контраст. На изображении вибрирующих участков контраст спеклов низкий. Таким образом по структуре спекл интерферограммы можно судить о динамике смещения отдельных участков поверхности.

Рассмотренные в разделах 2.4-2.5 процессы стохастизации излучения непосредственным образом обусловлены случайным распределением неоднородностей среды или неровностей отражающих поверхностей. Существует, однако, принципиально иной механизм стохастизации изначально регулярных световых пучков, который может проявляться даже в средах с регулярным изменением показателя преломления. Этот механизм представляет собой частный (оптический) случай физического сценария перехода к динамическому хаосу детерминированных нелинейных систем.

Для описания траектории луча в волноводе воспользуемся гамильтоновым формализмом, изложенным в разделе 1.3.8. Пусть ось z совпадает с осью волноводного канала, а координата луча есть r=(x,y,z). Придавая уравнениям (1.3.51-1.3.57) векторный вид, получим, что координаты луча (x,y,z) связаны гамильтоновыми уравнениями

(2.6.1)

с гамильтонианом

(2.6.2)

Точка обозначает дифференцирование по z. Эта переменная, таким образом, играет роль времени. Импульс p равен

(2.6.3)

Параметр является показателем преломления. Записанные уравнения упрощаются, если показатель преломления слабо отличается от постоянного значения. Тогда можно записать

(2.6.4)

где соответствует регулярному (однородному по z) случаю, а возмущене учитывает влияние неоднородности. Величина e <<1 - безразмерный параметр возмущения. Благодаря его малости можно записать Н в виде

, (2.6.5)

где

(2.6.6)

Гамильтониан Н0 определяет невозмущенные траектории луча. Система уравнений (2.6.1), (2.6.5) и (2.6.6) показывает, что мы пришли к обычной динамической задаче о влиянии нестационарного возмущения на частицу, совершающую финитные колебания, которые описываются гамильтонианом Н0. Неоднородность вдоль переменной z эквивалентна нестационарности динамической задачи.

Наиболее простым является плоский случай, когда n не зависит от y. Уравнения (2.6.1), (2.6.5) и (2.6.6) переходят в следующие:

(2.6.7)

Опишем сначала невозмущенное движение луча. Пусть значение определяет соответствующие асимптотики n(x) при и n(x) имеет простой вид горба с одним максимумом. Тогда гамильтониану Н0 соответствует движение в простой потенциальной яме. Финитным периодическим траекториям эквивалентной динамической системы соответствуют лучи, распространяющиеся в естественном волноводном канале по траекториям, вид которых показан на рис. 2.6.1.

Введем в области финитного движения переменные действие - угол (I,q ) по стандартным правилам теории динамических систем. В этих переменных система (2.6.7) принимает канонический вид

(2.6.8)

Частота

(2.6.9)

характеризует число колебаний луча между стенками волноводного канала, приходящееся на единицу длины пути. Иными словами, 2p /w есть пространственный период луча в волноводе. Уравнения (2.6.8-2.6.9) являются нелинейными, поэтому основанная на их использовании область геометрической оптики называют нелинейной лучевой динамикой.

Представим теперь, что возмущение обладает пространственной периодичностью по оси z. Будем считать, что пространственный период возмущения составляет величину 2p /k . В настоящее время теория решений уравнений 2.6.8-2.6.9 хорошо разработана. Она предсказывает, что при выполнении условия

(2.6.10)

в системе возникает нелинейный резонанс (который развивается не во времени, а в пространстве). Ширина этого резонанса равна d w =k /m. При наличии резонанса траектории лучей приобретают неустойчивый характер и обнаруживают многочисленные неупорядоченные пересечения. Это влечет стохастизацию поля и формирование спеклоподобной структуры поля в поперечном сечении волновода. Важно отметить, что возникающие искажения волновых пучков нельзя скомпенсировать никакими известными методами, включая методы адаптивной оптики и методы обращения волнового фронта. Такая ситуация обусловлена прежде всего тем, что в силу принципиальной неустойчивости лучевых траекторий форма амплитудно-фазовых распределений поля в волноводе оказывается чрезвычайно критичной к малым изменениям начальных условий.

Использование методов традиционной статистической физики для описания стохастизации световых пучков под влиянием случайных неоднородностей или в результате проявления нелинейного лучевого резонанса не всегда приводит к исчерпывающим результатам. Это во- многом связано с тем, что статистические методы не учитывают свойства масштабной инвариантности (скейтлинга), которыми при определеных условиях могут обладать амплитудно-фазовые распределения или лучевые структуры световых пучков. Указанный пробел восполняет применение фрактальных моделей. В математике фрактал представляет собой множество точек в метрическом пространстве, для которого невозможно определить какую-либо из традиционных мер с целой размерностью - длину, площадь или объем (их размерности - соответственно первая степень, квадрат и куб длины). Измерение, например, длины фрактальной кривой может дать бесконечный результат, а заметаемой ею площади - нулевой. Задача измерения таких множеств решается введением мер Хаусдорфа с любой (в том числе нецелой) размерностью. Наибольшая размерность меры Хаусдорфа называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (РХБ) этого множества. Используя эти представления фрактал можно определить, как масштабно-инвариантный, т.е. самоподобный объект, РХБ которого превышает топологическую размерность (1 - для линии, 2 - для поверхности и т.д.).

Успех в применении фрактальных моделей в физике обусловлен прежде всего тем, что фрактальные формы присущи огромному числу процессов и структур. Весьма эффективными оказались фрактальные представления и при анализе процессов формирования и распространения световых пучков. Не выходя далеко за рамки обсуждаемой темы, отметим, что фрактальные структуры присутствуют и в картине лучей, распространяющихся в продольно неоднородном волноводе. Их появление является прямым следствием возникновения нелинейных резонансов.

Как уже указывалось, в продольно однородных волноводах лучи периодически колеблются вблизи оси волновода, не покидая его. Захват лучей связан либо с наличием отражающих стенок, либо с неоднородным поперечным распределением показателя преломления. Длина цикла луча определяется начальным углом наклона луча к оси волновода. При наличии продольных неоднородностей (неровности стенок, колебания оси, изменения показателя преломления) становится возможным захват лучей в нелинейные резонансы. Рассмотрим волновод с однородным заполнением и абсолютно отражающими стенками; одна его стенка плоская, а другая имеет периодические неровности вида

(2.6.11)

где b, L – соответственно амплитуда и период неровностей, – дробная часть нормированной на период продольной координаты z. При b=0 ширина волновода – h. Лучи в таком волноводе распространяются, попеременно отражаясь от его стенок. Распространение луча можно описать нелинейным отображением, определяющим угол и продольную координату отражения луча от плоской стенки через угол и продольную координату предыдущего отражения от плоской стенки. Если амплитуда неровностей равна нулю, то длина цикла луча D – расстояние между двумя последовательными отражениями от стенки – постоянна и равна , где q 0 – исходный угол выхода луча. Неровности оказывают наиболее сильное влияние на лучи, находящиеся в нелинейном резонансе с периодом неровностей, что для некоторых целых чисел m и n означает выполнение равенства , или

(2.6.12)

обеспечивающего резонанс между какими-либо гармониками неровностей и траектории луча. Лучи с углом выхода вблизи одного из резонансных углов захватываются в резонанс и имеют одинаковые средние периоды отражений и времена распространения. На рис. 2.6.2, а показана зависимость пространственной частоты к колебаний луча от угла выхода q 0. Эта кривая состоит из ступенек с постоянной величиной k, расположенных вблизи резонансных углов выхода. Распределение ступенек по углу выхода фрактально, в том смысле, что при увеличении разрешения r по углу число N(r) промежутков между ступеньками степенным образом зависит от разрешения. Фрактальность иллюстрируется на рис. 2.6.2, а двумя врезками, показывающими увеличено малый участок кривой и график зависимости N(r). На рис. 2.6.2, б представлена аналогичная ступенчатая зависимость длины луча (времени распространения сигнала по лучу).