Авторы:

Часть I. Общетеоретические сведения

§ 1.1. Природа фазовых сингулярностей, типы дислокаций волнового фронта

Винтовыми дислокациями называются точки фронта волны, при обходе вокруг которых в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, фаза световых колебаний изменяется на величину 2p l, где l - целое число, отличное от нуля. Величина l называется порядком дислокации или топологическим зарядом поверхности волнового фронта. В зависимости от направления закрутки “винта” волновой поверхности ВД подразделяются на левые (отрицательные) и правые (положительные).

Амплитуду центрально-симметричного поля в области дислокации первого порядка ( при r = 0 ) можно представить в виде:

Амплитуда поля вблизи ВД более высоких порядков описывается выражением:

где l - порядок дислокации.

Появление ВД кардинальным образом меняет топологию волнового фронта. Эквифазная поверхность перестает быть многозначной (см. рис.1.1,а) и осуществляется переход к единой поверхности со специфической волновой структурой. Это иллюстрирует рисунок (1.1,б), на котором изображен волновой фронт лазерного пучка с ВД, расположенной на оси. Направление распространения световой энергии задается вектором Умова-Пойнтинга, перпендикулярным, как известно, поверхности волнового фронта в каждой точке. Следовательно, в окрестности ВД будет происходить завихрение энергетического потока.

Рисунок 1.1. Структура волновых фронтов в отсутствие (а) и при наличии винтовой дислокации (б) ( l - длина волны излучения).

Важным для практики частным случаем ВД является так называемая краевая дислокация КД. Она представляет собой линию в поперечном сечении пучка, на которой поле меняет скачком свою фазу на p . ВД можно получить сложением двух полей с ортогональными КД, сдвинутых по фазе на относительно друг друга.

Винтовые дислокации можно представить как точку пересечения линий смены знака действительной и мнимой частей амплитуды поля. Разложим компоненты комплексной амплитуды поля Е на действительную Re и мнимую Im части, и построим линии, где Re и Im обращаются в нуль (рис. 1.2). Если это не просто линии нуля Re и Im частей, но и линии смены их знака, то точки их пересечения суть точки винтовых дислокаций фазы. Таким образом, там где располагается ВД, амплитуда всегда равна нулю. Когда нулевые линии действительной и мнимой частей не просто пересекаются, но и совпадают на некотором участке, там получается КД.

ВД волнового фронта могут формироваться в пучках когерентного излучения при их распространении через оптические неоднородные среды, при отражении от неровных поверхностей, при прохождении через специально изготовленные голограммы, а также в результате интерференции различных мод (типов колебаний), формирующих данный пучок. Рассмотрим последний процесс более подробно. Сделаем это на примере лазерного излучения, образованного модами Эрмита-Гаусса или Лагерра – Гаусса. Под модой понимается волновой пучок, который сохраняет в процессе распространения форму распределения амплитуды и фазы световых колебаний в поперечном сечении. Моды Эрмита-Гаусса и Лагерра – Гаусса сохраняют свою форму при распространении в свободном пространстве и внутри устойчивого резонатора с большой апертурой зеркал. Пространственное распределение амплитуды поля моды Эрмита-Гаусса, распространяющейся вдоль оси z, определяется произведением полиномов Эрмита и функции Гаусса:

где H_m() - полином Эрмита, m и n - поперечные индексы моды, указывающие на количество нулей вдоль поперечных осей x и y соответственно, k - волновое число, w ₀ и w радиусы пучка в перетяжке и плоскости z=const, R - радиус кривизны волнового фронта, F - фазовый сдвиг между волновым пучком и идеальной плоской волной:

где F _0mn - начальная фаза.

Радиус пучка w ₀ в перетяжке, радиус пучка w и радиус кривизны волнового фронта R связаны по закону:

Моды Лагерра – Гаусса используются при описании структуры волновых пучков в цилиндрической системе координат {r,,z}. Их пространственная структура имеет вид:

где - обобщенный полином Лагерра, p и l - соответственно радиальный и угловой индексы, определяющие изменений знака поля в радиальном и азимутальном направлениях, d _{0 l} – символ Кронекера.

Как и для случая прямоугольных координат, разность фаз зависит от индексов моды и определяется уравнением:

где F _0pl - начальная фаза.

Как Эрмит-Гауссовы, так и Лагерр-Гауссовы моды, реализуемые на практике, характеризуются, как правило, большим значением радиуса кривизны волнового фронта. Поэтому их с хорошей степенью приближения можно отнести к поперечным электромагнитным волновым пучкам вида TEM. С учетом поперечных индексов, в дальнейшем для этих пучков будут использоваться обозначения TEM_mn и TEM_pl соответственно.

В сингулярной оптике получил распространение термин “оптический сингулярный кристалл”. Оптическим сингулярным кристаллом называется амплитудно-фазовая распределение суперпозиции вырожденных по частоте Эрмит-Гауссовых или Лагерр-Гауссовых мод, волновой фронт которой имеет резко выраженную сингулярную структуру с неизменной формой распределения винтовых дислокаций. Внешнее сходство между расположением ВД в поперечном сечении многомодового пучка с расположением ионов в кристалле и послужило основанием для введения вышеупомянутого термина. Дополнительное сходство обусловлено тем, что эквифазные линии в пучке имеют такую же структуру, как и силовые линии электрического поля в кристалле (см. например рис. 4). Оптический сингулярный кристалл может быть образован суперпозицией мод, развернутых по азимуту относительно друг друга на некоторый угол j и произвольно сдвинутых по фазе на величину q вдоль оси z. При этом поперечные индексы мод, входящих в суперпозицию должны удовлетворяют условию m+n=const (2p+l=const). Наиболее характерные для сингулярного кристалла формы распределения поля получаются при j  и q равными ± p /2. В этом случае нулевые линии действительной и мнимой частей поля будут ортогональны и винтообразное вращение фазы вокруг точки дислокации равномерно. Для указанных условий распределение поля рассматриваемой суперпозиции мод можно записать в виде:

где C_p0 и C_plk произвольные амплитудные весовые коэффициенты,

Выражение (1.3.2) характеризует распределение поля моды, в которой отсутствуют азимутальные нулевые линии (l=0). Выражение (1.3.3) определяет суперпозицию Лагерр-Гауссовых мод, формирующих винтовую структуру волнового фронта в результате взаимного поворота на угол 90⁰ и дополнительного смещения по фазе на p /2 . Моды Y _p0 и U _plk образуют полную систему ортогональных функций, по который может быть разложена любая суперпозиция мод, удовлетворяющих условию m+n=const (2p+l=const).

Характерные экспериментальные распределения интенсивности светового поля вырожденных сингулярных кристаллов при 2p+l=2 и 2p+l=3 приведены на рисунке (1.3).

Рисунок 1.3. Экспериментальные распределения интенсивности светового поля сингулярных кристаллов (2p+l=2 и 2p+l=3).

На рисунке 1.4 приведено расположение винтовых дислокаций эквифазных линий поля оптического кристалла, соответствующего суперпозиции мод, приведенной на рис.1.3b. Нетрудно заметить, что эквифазные линии в пучке имеют такую же структуру, что и силовые линии электрического поля в кристалле.

Рис. 1.4. Эквифазные линии поля оптического кристалла для суммы индексов 2p+l=2 (сравни рис. 1.3b). “1”=p /4, “3”=3p /4, “5”=5p /4, “7”=7p /4. Стрелками указано расположение винтовых дислокаций.

На интерферограммах (по сути речь идет о голограммах волнового фронта) ВД даёт характерную особенность: в точке дислокации интерференционные полосы ветвятся (рис. 1.5).

Разветвление интерференционной полосы (“вилка”) является критерием дислокации на волновом фронте.

Программа написана на языке Borland Delphi 3.0 и представляет собой 32-битное приложение, работающее в Win  95, Win NT. Для работы с программой необходим компьютер IBM PC класса не ниже Pentium с 32 Mb ОЗУ.

Для получения значения полинома H_m(x) нужно вычислить в цикле (m-1) раз его значение, подставляя на следующем шаге значение предыдущего.

Для получения значения полинома необходимо вычислить в цикле (p-1) раз его значение, подставляя на следующем шаге значение предыдущего.

В программе моды свободного пространства нормированы на единичную мощность в плоскости, перпендикулярной оси z.

Вследствие дифракции световых пучков при увеличении значения продольной координаты z, картина поля расплывается. Но наша цель - проследить за изменением местоположения нулевых линий комплексной амплитуды поля и соответственно, движением винтовых дислокаций. Поэтому целесообразно ввести нормировку для поперечных координат x и y в единицах w :

Далее, введем параметр b_F, который будет определять границу раздела между дальней и ближней зонами Френеля:

Удобнее рассматривать величины продольной координаты в долях параметра b_F:

С целью получения более полного описания винтовых дислокаций поля с использованием суперпозиции мод, были введены следующие дополнительные параметры:1). Угол поворота осей y - угол, задающий поворот осей OX и OY относительно начальной системы координат; 2) “Нормировочный” коэффициент А, характеризующий соотношение амплитуд, участвующих в суперпозиции мод;3) Смещение центра каждой из мод относительно начала координат x, y.

Программа имеет расширенный интерфейс и позволяет пользователю строить амплитудно-фазовые распределения любой сложности и проводить анализ структуры фазового поля двумя способами: методом голограмм и методом нулевых линий. Главное меню и окно параметров программы приведено на рис. 2.1.

Выбор базиса разложения происходит путем инициализации соответствующего пункта ‘Эрмит/Лагерр’ соответственно. Пользователь может построить распределение интенсивности в изображении пучка в линейном и логарифмическом масштабе (переключатель ‘Логарифм’). Путем изменения размера матрицы (количества точек) пользователь имеет возможность получения как тестового изображения (маленькое окно), так и качественного изображения (большое окно);  диапазон варьирования количества точек лежит от 128 до 512 точек ( параметр ‘Экран’ ). Варьирование размера рабочей зоны ( в единицах w ) производится путем изменения параметра ‘Resize’. В программе имеется возможность обновления уже считанной информации ( кнопка ‘Repaint’ ).

В программе предусмотрено сохранение результатов в формате 256 цветов и 16 бит (опция ‘Image’ главного меню). При необходимости пользователь может считывать и сохранять результаты в формате данных: массивов действительной и мнимой частей комплексной амплитуды поля. Помимо этого в программе заложена возможность записывать и считывать конфигурации суперпозиций мод (пункт ‘Configuration’ главного меню).

Ввод моды в суперпозицию осуществляется путем выбора значений следующих параметров: ‘m’ (первый поперечный индекс), ‘n’ (второй поперечный индекс), ‘Фаза’ (начальная фаза), ‘Поворот’ (угол поворота), ‘Ампл.’ (вес данной моды в суперпозиции), ‘по X’ (сдвиг по X), ‘по Y’ (сдвиг по Y) в соответствующие верхние окна и последующим нажатием кнопки ‘Добавить’. Суперпозиция введенных мод высвечивается в нижнем окне. Для исключения (удаления) моды из суперпозиции, необходимо выделить моду из списка и затем нажать кнопку ‘Удалить’. Для полной очистки ранее набранного списка нужно нажать кнопку ‘Очистить’.

Изменение текущего значения любой составляющей суперпозиции осуществляется следующим образом: 1) выбрать нужную составляющую суперпозиции; 2) изменить текущие значения данной составляющей: ‘m’ (первый поперечный индекс), ‘n’ (второй поперечный индекс), ‘Фаза’ (начальная фаза), ‘Поворот’ (угол поворота), ‘Ампл.’ (вес данной моды в суперпозиции), ‘по X’ (сдвиг по X), ‘по Y’ (сдвиг по Y); 3) нажать кнопку ‘Изменить’. Параметр ‘Z value’ – продольная координата z, нормированная на величину параметра w .

Программа имеет 4 режима автоматической генерации мод ( кнопка ‘Авто’ ) серии ‘Моды’: ‘Четные’, ‘Нечетные’, ‘Любые’, ‘Одинаковые’. Одинаковые моды – моды, имеющие одинаковые значения поперечных индексов. Программа позволяет генерировать случайные суперпозиции мод как четных (‘Четные’), нечетных (‘Нечетные’), произвольных (‘Любые’) мод. Количество генерируемых мод регулируется изменением параметра ‘Кол-во’. Предельные значения для суперпозиции генерируемых мод для автоматической генерации задаются в окнах верхних индексов мод (окна ‘M’ (первый поперечный индекс), ‘N’ (второй поперечный индекс), ‘Фаза’ (начальная фаза), ‘Поворот’ (угол поворота), ‘А’ (вес данной моды в суперпозиции), ‘X’ (сдвиг по X), ‘Y’ (сдвиг по Y).

Для инициализации и прерывания процесса счета используются кнопки Считать и Stop соответственно.

В программе заложена возможность просмотра распределения светового поля по определенному скану в плоскости поперечных координат (опция ‘Correlation / Срез’ главного меню). Подведя курсор мыши к точке изображения, мы получаем распределение интенсивности по x при фиксированном y и распределение интенсивности по y при фиксированном x.

Первый метод – метод нулевых линий (кнопка ‘Нули’).

Второй способ анализа – метод голограмм (группа параметров ‘Голограмма’ ).

Для того, чтобы получить соответствующую фазовую информацию, необходимо смоделировать интерферограмму внутри лазерного поля. Её моделирование сводится к расчету структуры поля, получаемого путем наложения на рассчитанную суперпозицию TEM мод плоской однородной волны, направленной под небольшим углом z к оси распространения световой волны.

где A₀ - амплитуда плоской волны; x - угол наклона плоской волны к оси резонатора.

Сначала необходимо выбрать тип мод (Эрмит-Гауссовы), далее в окне параметров устанавливаем значения m=3 n=1 для поперечных индексов моды и нажатием кнопки ‘Добавить’ заносим набор значений в нижнее окно. Выбирая значение параметра Resize и продольной координаты z и дальнейшим расчетом (кнопка “Считать”) распределения интенсивности добиваемся оптимального заполнения рабочей области. После того,как получена изображение на экране (рис. 2.2 а), проводим анализ структуры поля методом нулевых линий поля (кнопка “Нули”) и получаем распределение рис. 2.2 б (опция Дислокации включена). Из рисунка видно, что действительная и мнимая части поля совпадают, в связи с чем на экране изображены только линейные дислокации.

а

Рисунок 2.2. Мода TEM₃₁

б - голограмма и структура нулевых линий

( Re- зеленые,Im- синие линии, желтые линии-общие ).

Сначала выбираем количество мод в суперпозиции (параметр ‘Кол-во’) и их тип (опция ‘Моды’). Далее, выбирая значение параметра Resize и величину продольной координаты z. Нажимаем кнопку “АВТО”, получая при этом в окне “Параметры” набор коэффициентов для построения суперпозиции мод. Далее нажимаем кнопку “Считать” и получаем на экране картину распределения интенсивности, добиваясь оптимального заполнения рабочей области. После того,как получена изображение на экране (рис. 2.3 а), проводим анализ структуры поля методом нулевых линий поля (кнопка “Нули”) и получаем распределение рис. 2.3 б. Далее, для анализа структуры поля методом голограмм необходимо в меню Голограмма выделить опцию Наличие, далее (опытным путем) установить значение параметра Ширина (ширина полос). Для построения голограммы не нужно производить перерасчет структуры, достаточно перестроить (кнопка Repaint) ранее расчитанную суперпозицию с новыми параметрами. В результате, получаем структуру, изображенную на рис. 2.4а и 2.4б (с нулевыми линиями).

а

а - распределение интенсивности,б – структура нулевых линий (Re- зеленые,Im- синие линии).

а

а – голограмма, б – голограмма и структура нулевых линий (Re- зеленые,Im- синие линии).

Задание 1. Получить пучок с винтовой структурой волнового фронта путем сложения Эрмит-Гауссовых мод TEM₁₀ и TEM₀₁.

Вызвать файл Lab28.exe из указанной преподавателем директории. Используя метод нулевых линий, определить: при каком соотношении фаз и амплитуд мод результирующая мода будет характеризоваться равномерным азимутальным вращением фазы. Предъявить преподавателю изображение пучка (распределение интенсивности в поперечном сечении), а также его голограмму, полученную при помощи сферической опорной волны. Определить величину топологического заряда ВД.

Определить: количество и расположение ВД в произвольной поперечной плоскости. Оценить соотношение между положительными и отрицательными ВД. Установить, какому виду симметрии удовлетворяет положение ВД. Выяснить, как меняется количество, расположение ВД и их симметрия при изменении расстояния от плоскости горловины. Построить график зависимости количества винтовых дислокаций как функцию продольной координаты z_n. Предъявить преподавателю изображения пучка для ближней и дальней зон дифракции с нанесенными на них нулевыми линиями действительной и мнимой частей амплитуды. По оси z для трех произвольно выбранных ВД оценочно определить “длину свободного пробега” дислокаций (в нормированных единицах z_n).

Определить: вид симметрии расположения ВД в поперечном сечении. Предъявить преподавателю изображения пучка для ближней и дальней зон дифракции с нанесенными на них нулевыми линиями действительной и мнимой частей амплитуды.

1. Короленко П.В. Оптика когерентного излучения, Издательство Московского Университета, 1998, 155 стр.
2. M. Bramilla, F. Battipede Transverse laser patterns. Phase singularity crystals, Physical review, V.43, № 9.
3. Федотов Н.Н. Винтовые лазерные поля, кандидатская диссертация, Москва 1996.
4. Полоско А.Т. Оптические свойства сингулярных пучков с сингулярной структурой волнового фронта, дипломная работа, Москва 1999.

Часть I. Общетеоретические сведения 2

§ 1.1. Природа фазовых сингулярностей,

типы дислокаций волнового фронта 2 

§ 1.2. Амплитудно-фазовая структура лазерных

пучков. Моды свободного пространства 5

§ 1.3. Оптические сингулярные кристаллы и

их свойства 7

§ 1.4. Методы идентификации винтовых дислокаций 11

интерфейса компьютерной задачи 13

§ 2.1. Рекуррентные формулы для расчетов

полиномов Эрмита и Лагерра 13

§ 2.2. Нормировки, используемые в программе 14

§ 2.3. Дополнительные параметры, используемые

в программе 15

§ 2.4. Описание интерфейса программы 16

§ 2.5. Анализ полученных структур 19

§ 2.6. Примеры моделирования суперпозиций мод 20

Пример 1.Моделирование единичной моды TEM₃₁ 20

вырожденных по частоте нечетных мод 22

структурой волнового фронта. Формулировка заданий 25

Литература 27