Теоретической основой анализа оптических явлений в когерентном свете являются положения классической оптики достаточно полно изложенные в известных трудах [1,2], а также в последующих монографиях и учебниках (см., например, [3-6]). При этом особенно большую роль играют те разделы оптики, в которых рассматриваются процессы распространения, интерференции и дифракции излучения. В данной главе мы рассмотрим эти процессы и явления, используя подход основанный на анализе решений приведенного волнового уравнения. Однако, прежде чем приступить к изложению основ теории дифракции и интерференции, уточним фундаментальное понятие когерентности, к которому нам придется постоянно апеллировать в процессе изложения материала учебного пособия.

В оптике понятие когерентности вводится для характеристики cкоррелированности световых колебаний в различных точках пространства и в различные моменты времени. Поэтому наиболее логично степень когерентности определять посредством корреляционной функции светового поля. Рассмотрим для простоты поляризованное поле, вектор напряженности электрического поля E в котором колеблется в определенном направлении. Если вектор напряженности содержит компоненту, случайным образом изменяющуюся по пространственным координатам r и по времени t, то можно построить следующую корреляционную функцию

, (1.1.1)

где угловые скобки означают усреднение по всему пространству и по всему интервалу времени наблюдения, а "звездочка" при втором множителе обозначает комплексно сопряженную величину. Для полей, статистические характеристики которых во времени не меняются (такие поля называются стационарными),

. (1.1.2)

Принято выделять также статистически однородные поля, для которых корреляционная функция зависит лишь от разности r₂ - r₁

. (1.1.3)

Однородное случайное поле называется изотропным, если корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния между двумя точками  Таким образом, для стационарных, однородных и изотропных полей с изменяющимся по случайному закону вектора E

, (1.1.4)

где . Корреляционная функция принимает максимальное значение при .

(1.1.5)

где I(r₁,t₁) I(r₂,t₂) - значение интенсивности пучка в указанных пространственных точках и в указанные моменты времени. В случае стационарности поле светового пучка

(1.1.6)

Построенную таким образом величину  называют комплексной степенью когерентности, так как корреляционные функции в общем случае комплексны. Абсолютную величину  называют модулем степени когерентности или просто степенью когерентности. Степень когерентности всегда удовлетворяет неравенству

(1.1.7)

при  дает значение степени пространственной когерентности, а при  - значение степени временной когерентности. Значение  и , при которых степени пространственной и временной когерентности уменьшаются в два раза называются соответственно размером зоны когерентности и временем когерентности.

Рис.1.1.1. Схема интерферометра Юнга.

Обозначим комплексное поле в точке Pj (i=1,2) через E(Pj,t), а расстояние между точкой Pj и произвольной точкой Р экрана Q₂ через lj=PjP. Суммарное электрическое поле в точке Р от двух отверстий равно

(1.1.8)

где tj=lj/c - время запаздывания (дисперсией среды пренебрегаем).

Коэффициенты передачи К₁ и К₂ являются комплексными величинами, их абсолютные значения зависят от формы и размеров отверстий.

Для средней интенсивности в точке Р получаем

I(P) = <|E(P,t)|²> = K₁K₁^*I₁ + K₂K₂^*I₂ + K₁K₂^* <E(P₁,t-t₁)E^*(P₂,t-t₂)> + K₁^*K₂ <E^*(P₁,t-t₁)E(P₂,t-t₂)>

или

(1.1.9)

Здесь - интенсивности светового поля в точках P₁ и P₂,  - пространственно-временная корреляционная функция:

  (1.1.10)

t₂-t₂=t , s - расстояние между точками Р₁ и Р₂ на экране Q₁; при этом учтена статистическая стационарность и однородность поля.

Если открыто лишь одно из отверстий в экране Q₁, то в точке Р интенсивность, очевидно, равна

Пользуясь этими обозначениями, выражение (1.1.9) можно переписать в виде

(1.1.11)

где  - комплексная степень когерентности.

Для электромагнитного поля вида

(e - единичный вектор поляризации волны, А - медленно меняющаяся амплитуда волны) корреляционная функция (1.1.4) равна

Индекс ^ означает, что корреляция оценивается в направлении, перпендикулярном оси z.

Следовательно,

(1.1.12)

где  Таким образом, выражение (1.1.11) принимает вид

(1.1.13)

Параметры d и t равны соответственно:

где l ₀- средняя длина волны. При t <<t _к зависимость от t в (1.1.13) входит только через d , так что максимальные и минимальные значения интенсивности на экране Q₂ (рис.1.1.1) определяются выражением

(1.1.14)

Контраст интерференционной картины, следуя Майкельсону, обычно характеризуют величиной

(1.1.15)

которую называют видностью. В соответствии с (1.1.14) для видности в окрестности точки Р имеем

(1.1.16)

Если интенсивности интерферирующих пучков одинаковы (I₁=I₂), то значение (1.1.16) максимально и

(1.1.17)

т.е. видность интерференционной картины просто равна степени пространственной когерентности. На рис.1.1.2 приведено распределение интенсивности в интерференционной картине для различных видностей.

В общем случае видность (1.1.15) дает информацию о степени пространственно-временной когерентности. Если время задержки t ~ t _к, то видность будет зависеть от t :

(1.1.18)

Рис.1.1.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для различных видностей.

Таким образом, если временная задержка меньше времени корреляции t <<t _к, то интерферометр Юнга позволяет определить поперечную пространственную когерентность. Если мы хотим измерить не искаженную пространственной статистикой временную корреляционную функцию поля, следует обратиться к другой интерференционной схеме - интерферометру Майкельсона.

Понятие временной когерентности прямо связано с интерференционным экспериментом, схема которого изображена на рис. 1.1.3. Волна падает на наклонную полупрозрачную пластинку П интерферометра Майкельсона, формирующую два пучка. Эти пучки отражаются от зеркал З₁ и З₂. Затем один из них, пройдя через пластинку П, а другой, отразившись от нее, поступают на экран Q, где интерферируют. В плоскости экрана расположен детектор, измеряющий интенсивность (например, фотодетектор, величина тока которого пропорциональна средней интенсивности).

Если напряженность электрических полей пучков равна соответственно Е₁ и Е₁, то поле на экране Q равно

(1.1.19)

где tj=2lj/c, lj- расстояние от зеркала З_j до пластинки П.

Выражение (1.1.19) аналогично (1.1.8). Поэтому расчеты, подобные выполненным выше, приводят к выражению для средней интенсивности

(1.1.20)

которое сходно с (1.1.13) (t =t₂-t₁).

Таким образом, изменяя временную задержку в схеме интерферометра Майкельсона от t =0 до t ® ? , из графика распределения средней интенсивности в интерференционной картине (интерферограмме) можно непосредственно определить временную корреляционную функцию светового поля.

Как и для интерферометра Юнга, для интерферометра Майкельсона можно ввести понятие видности интерференционной картины. В данном случае им удобно пользоваться, если волна квазимонохроматическая, т.е.  для такой волны, используя (1.1.15), для видности интерференционной картины в интерферометре Майкельсона вблизи заданного значения t при I₁=I₂ имеем

(1.1.21)

Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.

Согласно такой классификации интерферометр Юнга - это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона - интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерферометр Майкельсона обладает большей светосилой, чем схема Юнга.

Проведение измерений пространственной и временной когерентности имеет большое значение для постановки экспериментов в области когерентной оптики. Как правило, такие измерения должны проводиться по отношению к любым источникам излучения, используемых в оптических исследованиях.